একজন ক্রিকেটার একই বলকে সর্বোচ্চ 100 m আনুভূমিক দূরত্বে ছুঁড়তে পারে, সর্বোচ্চ উচ্চতা কত?

এখানে প্রশ্নটি দুটি অংশে বিভক্ত:

    
1. একজন ক্রিকেটারের বল ছোঁড়ার সর্বোচ্চ আনুভূমিক পাল্লা (maximum horizontal range) দেওয়া আছে।
    
2. এই একই বলকে সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় ছুঁড়তে পারবে, তা জানতে চাওয়া হয়েছে।

প্রথমত, আমরা জানি প্রাসের গতিতে (projectile motion) কোনো বস্তুকে যখন \(v_0\) আদি বেগে \(\theta\) কোণে নিক্ষেপ করা হয়, তখন তার আনুভূমিক পাল্লা (Range) এবং প্রাপ্ত সর্বোচ্চ উচ্চতা (Maximum Height) নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

আনুভূমিক পাল্লা, \(R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\)

সর্বোচ্চ উচ্চতা, \(H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}\)

বিস্তারিত সমাধান:

১. প্রশ্নের প্রথম অংশ থেকে পাই, ক্রিকেটার একই বলকে সর্বোচ্চ 100 m আনুভূমিক দূরত্বে ছুঁড়তে পারে। সর্বোচ্চ আনুভূমিক পাল্লা (\(R_{max}\)) অর্জিত হয় যখন নিক্ষেপণ কোণ (\(\theta\)) 45° হয়।

সুতরাং, \(R_{max} = \frac{v_0^2 \sin(2 \times 45^\circ)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(90^\circ)}{g} = \frac{v_0^2 \times 1}{g} = \frac{v_0^2}{g}\)

প্রশ্নানুসারে, \(R_{max} = 100 \, \text{m}\)।

অতএব, আমরা পাই: \(\frac{v_0^2}{g} = 100 \, \text{m}\)

এই সম্পর্কটি থেকে আমরা বলটির আদিবেগ (\(v_0\)) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (\(g\)) এর অনুপাত জানতে পারি। এটিই হলো ক্রিকেটারের বল ছোঁড়ার সর্বোচ্চ সামর্থ্য।

২. এখন, প্রশ্ন করা হয়েছে "সর্বোচ্চ উচ্চতা কত?"। এখানে সর্বোচ্চ উচ্চতা বলতে বোঝানো হয়েছে, একই আদিবেগ (\(v_0\)) ব্যবহার করে বলটিকে সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় তোলা সম্ভব। এটি তখনই সম্ভব যখন বলটিকে খাড়া উপরের দিকে (উল্লম্বভাবে) নিক্ষেপ করা হয়, অর্থাৎ নিক্ষেপণ কোণ \(\theta = 90^\circ\)।

খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে প্রাপ্ত সর্বোচ্চ উচ্চতার সূত্রটি হলো:

\(H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(90^\circ)}{2g} = \frac{v_0^2 \times 1^2}{2g} = \frac{v_0^2}{2g}\)

৩. এখন আমরা ধাপ-১ থেকে প্রাপ্ত \(\frac{v_0^2}{g}\) এর মান (\(100 \, \text{m}\)) এই সমীকরণে বসিয়ে দেব:

\(H_{max} = \frac{1}{2} \left(\frac{v_0^2}{g}\right)\)

\(H_{max} = \frac{1}{2} \times 100 \, \text{m}\)

\(H_{max} = 50 \, \text{m}\)

সুতরাং, ক্রিকেটার সর্বোচ্চ 50 m উচ্চতায় বলটি ছুঁড়তে পারে।

সঠিক উত্তর হলো 50m।